Các bài toán suy luận tiểu học

Bài 1.

Bác bảo vệ có chùm 10 chìa khoá để mở 10 ổ khoá ở các phòng học. Mỗi chìa chỉ mở được một ổ. Do sơ ý nên Bác không nhớ chìa khoá tương ứng với các ổ. Hỏi Bác phải thử nhiều nhất bao nhiêu lần để tìm được các chìa khoá tương ứng với các ổ khoá ở các phòng học trên?

Giải:

 Lấy chìa thứ nhất, ta phải thử nhiều nhất là 9 lần thì ta chọn được ổ khoá tương ứng. Như vậy còn lại 9 chìa và 9 ổ.
Tiếp tục lấy chìa thứ hai, ta phải thử nhiều nhất là 8 lần thì ta tìm được ổ tương ứng. Như vậy còn lại 8 chìa và 8 ổ.
Tiếp tục lấy chìa thứ ba, ta phải thử nhiều nhất là 7 lần thì ta tìm được ổ tương ứng. Như vậy còn lại 7 chìa và 7 ổ.
Cứ tiếp tục như thế đến chìa thứ 9 thì ta phải thử nhiều nhất là 1 lần thì tìm được ổ tương ứng. Còn chìa thứ 10 ta không cần phải thử nữa.
Vậy số lần thử nhiều nhất để mở được tất cả các phòng là:
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 (lần)
Đáp số: 45 lần

Bài 2. Trong kho của một đơn vị dân công còn đúng 1 bao gạo nặng 39 kg gạo. Bác cấp dưỡng muốn lấy ra 11/13 số gạo đó để nấu ăn cho dân công. Nhưng trong kho chỉ có một chiếc cân loại cân 2 đĩa thăng bằng và 1 quả cân 1 kg. Bác cấp dưỡng đã làm thế nào để chỉ sau 3 lần cân đã lấy ra đủ số gạo cần dùng ?

Giải:
Số gạo bác cấp dưỡng cần lấy ra là : 39 x 11/13 = 33 kg
Số gạo còn lại sau khi đã lấy ra là : 39 - 33 = 6 kg
Thực hiện như sau:
Lần 1: Đặt quả cân 1kg lên 1 đĩa. Rồi đổ gạo vào đĩa bên kia cho đến khi thăng bằng ta được 1kg gạo.
Lần 2: Đặt quả cân 1kg sang đĩa có 1kg gạo. Rồi đổ gạo vào đĩa bên kia cho đến khi thăng bằng ta được 2kg gạo nữa.
Lần 3: Bỏ quả cân 1kg đi. Cho tất cả 3kg gạo vào 1 đĩa. Rồi đổ gạo vào đĩa bên kia cho đến khi thăng bằng ta được 3kg gạo nữa.
Vậy là ta đã có 3 + 3 = 6kg gạo để lại. Sau đó đem 33 kg gạo trong bao đi nấu cơm.

Bài 3. Một bài kiểm tra trắc nghiệm có 15 câu hỏi. Nếu khoanh đúng 1 câu thì được 5 điểm, khoanh sai hoặc không khoanh một câu bị trừ 5 điểm. Bạn An làm bài được 25 điểm. Hỏi bạn An khoanh đúng bao nhiêu câu?

Giải:
Vì điểm số là 25 nên số câu trả lời đúng nhiều hơn số câu trả lời sai là 5 câu
Tổng các câu hỏi là 15. Số câu trả lời đúng là : (15 + 5) : 2 = 10 (câu)
Số câu trả lời sai là : 15 -10 = 5 (câu).

Nếu đem 1/5 số trâu và 1/3 số bò gộp lại thì được 25 con. Nếu đem 2/3 số trâu và 1/8 số bò gộp lại thì được 36 con. Tính số trâu và số bò.

Giải:
Dùng PP khử : 1/5a + 1/3b = 25 (1) và 2/3a + 1/8b = 36 (2) → 2/3 : 1/5 = 10/3.
Lấy (1) x 10/3

Bài 5. Để lọt vào đội tuyển Giao lưu Toán tuổi thơ, An đã tham gia một số bài kiểm tra, bạn đó tính rằng: Nếu được thêm 3 điểm 10 và 3 điểm 9 nữa thì điểm trung bình của tất cả các bài là 8, nếu được thêm 1 điểm 9 và 2 điểm 10 thì điểm trung bình tất cả các bài sẽ là 7,5. Hỏi bạn An đã được kiểm tra mấy bài?

Giải:
* Trường hợp 1: Điểm trung bình của tất cả các bài là 8
Số bài được kiểm tra thêm là: 3 + 3 = 6 (bài)
Số điểm được tăng thêm là: 10 x 3 + 9 x 3 = 57 (điểm)
Để được điểm trung bình là 8, thì phải “thêm vào” cho các bài đã kiểm tra là:
57 – (8 x 6) = 9 (điểm)
* Trường hợp 2: Điểm trung bình tất cả các bài sẽ là 7,5
Số bài được kiểm tra thêm là: 1 + 2 = 3 (bài)
Số điểm được tăng thêm là: 9 x 1 + 10 x 2 = 29 (điểm)
Để được điểm trung bình là 7,5 thì phải “thêm vào” cho các bài kiểm tra là:
29 – 7,5 x 3 = 6,5 (điểm)
Vậy để tăng điểm trung bình của tất cả các bài kiểm tra từ 7,5 lên 8 điểm thì số điểm phải tăng thêm là: 9 – 6,5 = 2,5 (điểm)
Do đó số bài bạn An đã kiểm tra là: 2,5 : (8 – 7,5) = 5 (bài)

Bài 6. Một người khách trọ có một dây chuyền bằng bạc gồm 7 vòng tròn nối móc vào nhau. Người khách ăn mỗi ngày phải trả cho chủ quán 1 vòng . Người đó ăn trong 7 ngày. Hỏi làm thế nào mà chỉ với 1 lần cắt ở 1 vòng , người khách trả cho ông chủ quán đúng mỗi ngày một vòng ?

Giải:
Đánh số thứ tự các vòng của dây chuyền từ 1 đến 7. Người khách cắt vòng số 3.
Ngày 1: trả vòng số 3.
Ngày 2 trả 2 vòng số 1 và số 2, lấy lại vòng số 3
Ngày 3: trả vòng số 3.
Ngày 4: trả 4 vòng : 4 ; 5 ; 6 ; 7 - lấy lại vòng số 3 và 1, 2
Ngày 5: trả vòng số 3.
Ngày 6: như ngày 2.
Ngày 7: trả nốt vòng số 3

Bài 7. Mẹ lĩnh lương được 2.480.000đồng gồm 50 tờ giấy bạc với 3 loại tờ: 100.000 đồng, 50.000 đồng và 20.000 đồng. Tính số tờ của mỗi loại tiền. Biết số tờ loại 20.000 đồng nhiều gấp đôi số tờ loại 50.000 đồng

Giải:
Trung bình cộng 2 tờ giấy bạc 20.000 đồng và 1 tờ giấy bạc 50.000 đồng là:
(20.000 x 2 + 50.000): 3 = 30.000 (đồng).
Giả sử cả 50 tờ giấy bạc đều là loại 100.000 đồng thì tiền lương mẹ lĩnh là: 100.000 x 50 = 5. 000.000 đồng
Tiền lương thực tế mẹ lĩnh ít hơn tiền lương giả sử là:
5.000.000 – 2.480.000 = 2.520.000 (đồng)
Thay 1 tờ giấy bạc 100.000 đồng bằng 1 tờ giấy bạc trung bình cộng của 2 tờ giấy bạc 20.000 đồng và 1 tờ giấy bạc 50.000 đồng thì tổng số tờ sẽ không thay đổi nhưng tiền lương mẹ lĩnh sẽ thay đổi là: 100.000 – 30.000 = 70.000 (đồng)
Số tờ 2 loại 20.000 đồng và 50.000 đồng là: 2.252.000 : 70.000 = 36 (tờ)
Số tờ loại 100.000 đồng là: 50 – 36 = 14 (tờ)
Số tờ loại 50.000 đồng là: 36 : (1 + 2) x 1 = 12 (tờ)
Số tờ loại 20.000 đồng là : 36 – 12= 24 (tờ)
Thử lại: 100.000 x 14 + 50.000 x 12 + 20.000 x 24= 2.480.000 đồng
Đáp số: Loại 100.000đ: 14 tờ, Loại 50.000đ: 12 tờ, Loại 20.000đ: 24 tờ

Bài 8: Trong phong trào thi đua đạt nhiều điểm mười chào mừng ngày sinh nhật Bác, ngày hôm qua lớp 5A có 4 bạn đạt được điểm 10. Hôm nay lớp 5A có 7 bạn đạt được điểm 10. Hỏi cả hai ngày lớp 5A có bao nhiêu bạn đạt được điểm 10 ?

Giải:
Nếu không có một bạn nào đạt điểm 10 cả hai ngày thì
số bạn đạt điểm 10 cả hai ngày là : 4 + 7 = 11 (bạn)
Nếu có một bạn đạt điểm 10 cả hai ngày thỡ số bạn đạt điểm 10 cả hai ngày là:
4 + 7 – 1 = 10 (bạn)
Nếu có hai bạn đạt điểm 10 cả hai ngày thỡ số bạn đạt điểm 10 cả hai ngày là:
4 + 7 – 2 = 9 (bạn)
Nếu có ba bạn đạt điểm 10 cả hai ngày thỡ số bạn đạt điểm 10 cả hai ngày là:
4 + 7 – 3 = 8 (bạn)
Nếu có bốn bạn đạt điểm 10 cả hai ngày thỡ số bạn đạt điểm 10 cả hai ngày là:
4 + 7 – 4 = 7 (bạn)

Bài 9. Có 100 học sinh giỏi, trong đó có 10 học sinh không phải là học sinh giỏi Toán và Văn, có 75 học sinh giỏi Toán và 83 học sinh giỏi Văn . Hỏi trong số 100 học sinh nói trên có bao nhiêu học sinh giỏi cả Toán và Văn ?

Giải:                                              100 học sinh giỏi

* Số học sinh gỏi Toán hoặc giỏi Văn là: 100 – 10 = 90 (học sinh)
* Trong 90 học sinh giỏi Toán hoặc giỏi Văn thì cứ:
+ Số học sinh giỏi Văn mà không giỏi Toán là: 90 – 75 = 15 học sinh
+ Số học sinh giỏi Toán mà không giỏi Văn là: 90 – 83 = 7 (học sinh)
* Số học sinh giỏi cả Toán và Văn là: 90 – (15+7) = 68 (học sinh)
Đáp số: Giỏi cả Toán và Văn: 68 học sinh.

Bài 10. Ba khối 3,4,5 của một trường có khoảng 570 đến 590 học sinh. Biết 1/2 số học sinh khối 3 bằng 2/3 số học sinh khối 4 và bằng 3/4 số học sinh khối 5. Tính số học sinh mỗi khối? Biết số học sinh cả 3 khối xếp hàng 5 thì không thừa bạn nào.

Giải:
Vì 1/2 số học sinh khối 3 bằng 2/3 số học sinh khối 4 và bằng 3/4 số học sinh khối 5. Do đó ta có: 6/12 số học sinh khối 3 bằng 6/9 số học sinh khối 4 và bằng 6/8 số học sinh khối 5.
Vậy tổng số học sinh của ba khối 3,4,5 là số chia hết cho (12 + 9 + 8) = 29.
Mặt khác số học sinh của cả 3 khối xếp hàng 5 thì không thừa bạn nào nên số học sinh của cả 3 khối là số chia hết cho 5. Trong các số từ 570 đến 590 có các số chia hết cho 5 là: 570, 575, 580, 585, 590. Trong các số đó chỉ có 580 chia hết cho 29. Vậy tổng số học sinh của cả 3 khối là 580 học sinh. Số học sinh của khối 3 là:
580 : 29 12 = 240 (H/S)
Số học sinh của khối 4 là: 580 : 29 9 = 180 (H/S)
Số học sinh của khối 5 là: 580 : 29 8 = 160 (H/S)

Bài 11. Có 4 thùng A; B; C; D trong đó có hai thùng C và D có thể tích như nhau. Giả sử hai thùng A và B đựng đầy nước, nếu rót nước từ thùng A cho đầy thùng C thì trong thùng A chỉ còn 1/6 là nước. Nếu rót nước từ thùng B cho đầy thùng D thì trong thùng B chỉ còn 1/8 là nước.

Giải:
- Vì sau khi rút nước từ thùng A sang thùng C, thì thùng A chỉ còn lại 1/6 là nước nên thể tích thùng A bằng 6/5 thể tích thùng C.
- Vì sau khi rút nước từ thùng B sang thùng D, thì thùng B chỉ còn lại 1/8 là nước nên thể tích thùng B bằng 8/7 thể tích thùng D.
- Vì thể tích 2 thùng C và D bằng nhau nên thể tích cả 2 thùng A và B so với thùng C là:

Theo bài ra 12/35 thể tích thùng C là 12 lít.
Thể tích thùng C (thể tích thùng D) là: 12 : 12/35 = 35 (lít)
Thể tích thùng A là: 35 x 6/5 = 42 (lít)
Thể tích thùng B là: 35 x 8/7 = 40 (lít)
Đáp số: C; D: 35 lít; A: 42 lít; B: 40 lít

Bài 12. Trong mỗi bài kiểm tra Lan đều được điểm 8 hoặc điểm 9 hoặc điểm 10. Số điểm các bài đó Lan cộng lại được 100 điểm. Bạn tính xem Lan đã làm được bao nhiêu bài kiểm tra và mỗi loại điểm có mấy bài? Biết rằng số bài kiểm tra của Lan nhiều hơn 11 bài.

Giải:
Theo đầu bài: số bài kiểm tra của Lan nhiều hơn 11 bài.
Giả sử bạn Lan có 13 bài kiểm tra thì số điểm ít nhất sẽ là:
8 x 11 + 9 x 1 + 10 x 1 = 107 (điểm)
Điều này không thể xảy ra vì: tổng số điểm của Lan chỉ có 100 điểm.
Vậy bạn Lan dự kiểm tra 12 lần.
Số điểm ít nhất của 12 bài kiểm tra:
8 x 10 + 9 x 1 + 10 x 1 = 99 (điểm)
(thiếu 1 điểm so với tổng 100 điểm của Lan)
Nếu Lan có 10 bài điểm 8 và 2 bài điểm 10: 8 x 10 + 10 x 2 = 100 (điểm) thì lại không có bài điểm 9 (không đúng với đầu bài).
Vậy Lan phải có 9 bài điểm 8 và 2 bài điểm 9 và 1 bài điểm 10:
8 x 9 + 9 x 2 + 10 x 1 = 100 (điểm)

Bài 13: Có 10 ví đựng tiền, trong mỗi ví đựng 10 đồng tiền vàng giống hệt nhau, nhưng trong đó có một ví đựng toàn tiền giả. Các đồng tiền thật mỗi đồng tiền nặng đúng 10 gam, các đồng tiền giả mỗi đồng nặng hơn mỗi đồng tiền thật đúng 1 gam. Với một lần cân có quả cân hãy tìm ra ví đựng tiền giả.

Giải:
Ta đánh số các ví tiền từ số 1 đến số 10. Lấy ra từ ví số 1 một đồng, từ ví số 2 hai đồng,... từ ví số 9 chín đồng, còn ví số 10 không lấy ra đồng nào.
Tất cả số tiền lấy ra từ 9 ví là: 1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45
Đem 45 đồng tiền vàng này lên cân:
-Nếu cân đúng 450 gam thì ví thứ 10 là ví đựng toàn đồng tiền giả.
-Nếu cân được 450 gam cộng với một số gam lẻ thì số gam lẻ đó chính là số thứ tự ứng với ví đựng tiền giả mà ta cần tìm.

Bài 14. Ban tổ chức của một giải bóng đá xếp lịch thi đấu theo thể thức vòng tròn 2 lượt (sân khách và sân nhà). Người ta dự tính tổng số trận đấu khi chưa biết rõ số đội tham gia và đưa ra các con số sau đây:
a) 235; b) 240; c) 246; d) 250
Sau khi xem lại, Trưởng ban tổ chức khẳng định chỉ có 1 số chính xác. Bạn thứ kiểm tra xem tổng số trận đấu của giải là số nào? Khi đó sẽ có bao nhiêu đội tham gia thi đấu?

Giải:
Ban tổ chức của một giải bóng đá xếp lịch thi đấu theo thể thức vòng tròn 2 lượt(sân khách và sân nhà). Gọi n là số đội tham gia thi đấu...
Theo quy tắc đấu vòng tròn 1 lượt thì số trận đấu là: n x (n - 1): 2
Như vậy tổng số trận cả lượt đi và lượt về sẽ được tổ chức là: n x (n - 1) BTC người ta dự tính tổng số trận đấu và đưa ra các con số:
a) 235; b) 240; c) 246 ; d) 250
Ta thấy chỉ có số 240 là phù hợp vì: 240 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 16 x 15 → n = 16
Vậy tổng số trận thi đấu là 240 trận và có 16 đội bóng tham gia thi đấu.

Bài 15. Bạn Bình đã có một số con điểm của các bài kiểm tra. Bạn tính rằng trong 5 bài kiểm tra sắp tới nếu được bốn điểm 9 và một điểm 10 thì điểm trung bình của tất cả các bài là 8,5; nếu được bốn điểm 10 và một điểm 9 thì điểm trung bình của tất cả các bài là 8,8. Hỏi bạn Bình đã có mấy con điểm của các bài kiểm tra?

Giải:
Bốn điểm 9 và một điểm 10 so với bốn điểm 10 và một điểm 9 hơn kém nhau tổng số điểm là:
(10 × 4 + 9) - (9 × 4 + 10) = 3 (điểm)
Điểm trung bình của tất cả các bài kiểm tra (theo hai lần tính) hơn kém nhau là: 8,8 - 8,5 = 0,3 (điểm)
Tổng số bài kiểm tra được tính điểm trung bình là:
3: 0,3 = 10 (bài)
Vậy số con điểm của các bài kiểm tra đã có là:
10 - 5 = 5 (con điểm)
Đáp số: 5 con điểm

Bài 16. Chị Hà đi chợ mua bốn loại quả: xoài, táo, cam và lê. Về đến nhà em Nga hỏi chị: “Hôm nay chị mua tất cả bao nhiêu quả?” Chị Hà trả lời:
- Nếu không tính xoài thì có 46 quả.
- Nếu không tính Lê thì có 41 quả.
- Nếu không tính cam thì có 44 quả.
- Nếu không tính Táo thì có 37 quả.
Em hãy tính xem chị Thanh mua bao nhiêu quả mỗi loại?

Giải:
Theo bài ra ta có: Lê + Cam + Táo = 46 quả
Cam + Táo + Xoài = 41 quả
Lê + Táo + Xoài = 44 quả
Lê + Cam + Xoài = 37 quả
Cộng: (Lê + Cam + Táo + Xoài) x 3 = 168 quả
Vậy tổng số 4 loại quả là: 168: 3 = 56 (quả)
Số quả xoài: 56 - 46 = 10 (quả)
Số quả cam: 56 - 44 = 12 (quả)
Số quả Lê: 56 - 41 = 15 (quả)
Số quả Táo: 56 - 37 = 19 (quả)

Bài 17: Có 9 chiếc nhẫn bề ngoài giống hệt nhau, trong đó có 1 chiếc nhẫn nhẹ hơn. Chỉ dùng 1 chiếc cân đĩa (không có quả cân) thì em dùng ít nhất mấy lần cân để tìm ra chiếc nhẫn nhẹ hơn ấy ?

Giải:
Ít nhất 2 lần cân.
- Chia 9 chiếc nhẫn thành 3 phần mỗi phần 3 chiếc
- Lần 1: Đặt mỗi bên cân đĩa 3 chiếc nhẫn nếu bên nào nhẹ hơn thì chiếc nhẫn nhẹ hơn ở bên đó.
- Lần 2: Lấy 2 chiếc nhẫn ở bên đĩa cân nhẹ hơn bỏ vào 2 đĩa cân: nếu cân thăng bằng thì chiếc nhẹ hơn ở ngoài; nếu cân không thăng bằng thì bên nhẹ hơn là chiếc nhẫn cần tìm.
* Nếu lần 1 cân mà 2 đĩa cân thăng bằng thì chiếc nhẫn nhẹ hơn ở bên ngoài và ta lấy 3 chiếc nhẫn ở ngoài cân như lần 2.

Bài 18: Có 5 đội thi đấu bóng đá với nhau theo thể thức đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều phải đấu với nhau đúng một trận). Mỗi trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm, còn nếu hòa thì mỗi đội được 1 điểm. Sau khi đấu xong thì thấy tổng điểm của 5 đội là 19 điểm. Em hãy cho biết đội vô địch được bao nhiêu điểm?

Bài 19. Mẹ đi chợ mua về 5 túi táo và cam. Mỗi túi đựng 1 kg cam hoặc táo. Biết giá 1 kg cam đắt hơn 1 kg táo là 3000 đồng, mẹ đã trả tiền mua cam là 45 000 đồng, tiền mua táo là là 24 000 đồng. Hỏi mẹ đã mua mỗi loại bao nhiêu ki lô gam?

Giải:
Dùng phương pháp thử chọn.
Có tất cả cam và táo là: 1 x 5 = 5 kg. Vì mỗi túi chỉ đựng hoặc cam hoặc táo:
+ Nếu có 1 túi đựng táo, suy ra 1 kg táo giá 24 000đ, vậy 1 kg cam giá:
24 000 + 3 000 = 27 000 đ.
Vậy 4kg cam giá: 27 000 x 4 = 108 000 đ (không thoả mãn)
+ Nếu có 2 túi đựng táo, suy ra 1 kg táo giá:
24 000: 2 = 12 000 đ.
Và do đó giá 1 kg cam là:
12 000 + 3 000 = 15 000 đ.
Vậy có 3 túi cam (là 3 kg) mua với số tiền là:
15 000 x 3 = 45 000 đ. (Thoả mãn đề bài).
+ Nếu có 3 túi táo trở lên thì số tiền mua cam lại ít hơn 45 000 đ .(Không thoả mãn đề bài).
Đáp số: 2 kg táo; 3 kg cam.

Bài 20. Lớp 5A làm bài kiểm tra Toán gồm có 3 bài. Sau khi chấm, cô giáo nhận thấy: cả lớp mỗi em đều làm được ít nhất 1 bài . Trong lớp có 20 em giải được bài 1; 14 em giải được bài 2; 10 em giải được bài 3; 5 em giải được bài 2 và bài 3; 2 em giải được bài 1 và bài 2; 6 em giải được bài 1 và bài 3; có mỗi 1 em giải được cả 3 bài. Hỏi lớp 5A đó có bao nhiêu học sinh?

Giải:
Vẽ sơ đồ: 3 vòng tròn giao nhau. Điền các số vào các ô sao cho: ô trong cùng = 1
ô làm được bài 3 = 1+4+5+0= 10;
ô bài 2 = 1+4+1+8 = 14;
ô bài 1= 1+5+1+13 = 20.
Suy ra số HS cả lớp = 1+1+4+5+8+13= 32 em.

Bài 21. An mang hồng đi đổi lấy lê và táo. Cứ 7 hồng đổi được 2 táo và 1 lê, cứ 3 táo đổi được 2 lê. An đổi hết số hồng thì được 18 táo và 15 lê. Hỏi An mang đi bao nhiêu hồng?

Giải:
Giải bài toán bằng đơn vị quy ước: lấy táo làm đơn vị tính
- 1 lê đổi được số táo là: 3: 2 = 1,5 (táo)
7 hồng đổi được số táo là: 2 + 1,5 = 3,5 (táo)
1 táo đổi số hồng là: 7: 3,5 = 2 (hồng)
Tổng số táo cuối cùng đổi được là = 18 + (15 x 1.5) = 40,5
Số hồng đem đi đổi là: 40,5 x 2 = 81 (hồng)
đáp số: 81 hồng

Nguyễn Trang sưu tầm